Родился в селе Байкалово Тобольского района в 1928 году. В декабре 1945 года поступил в работу в Байкаловский районный дом культуры в качестве инструктора-художника. В 1948-1951 годы служил в рядах Советской Армии. С ноября 1951 по июль 1952 года работал в Байкаловском доме культуры в качестве художественного руководителя. В 1952-1957 годы учился в Пензенском художественном училище им. Савицкого, где получил квалификацию учителя рисования и черчения общеобразовательной школы. С 1957 по август 1962 года преподавал рисование в Ханты-Мансийском педучилище. В 1958 году организовал на общественных началах городскую студию изобразительного искусства при Доме народного творчества. С августа 1962 по декабрь 1965 года работал художником в производственных художественных мастерских в г. Тобольске. С апреля 1966 по ноябрь 1983 года работал методистом по изобразительному искусству в Ханты-Мансийском окружном Доме народного творчества, откуда ушел на пенсию.
Михаил Ефимович - автор портретов, городских пейзажей. На Всесоюзной выставке самодеятельных художников в Москве в 1960 году он получил диплом 1 степени. В годы работы в Доме народного творчества Бронников занимался сбором предметов самобытного искусства ханты и манси, организовывал окружные выставки самодеятельных мастеров и художников. Умер в 1992 году.
Награжден многими почетными грамотами за добросовестный труд, значком "За отличную работу" Министерства культуры СССР (1978), медалями: "За доблестный труд в Великой Отечественной войне" (1948), "Ветеран труда" Президиума Верховного Совета СССР (1984), "40 лет Победы в Великой Отечественной войне" (1985).
Среди документов, хранящихся в Государственном архиве Югры: биография, документы творческой деятельности, фотографии, магнитная лента с записью, 18 предметов экспозиционного характера (этюды, выполненные маслом). Есть рисунки М.Е. Бронникова с видами г. Ханты-Мансийска (акварель), вырезки из газет, альбомы с рисунками карандашом, углем, пером, кистью, афиши о проведении выставок, альбом "Художники города Ханты-Мансийска с репродукциями картин М.Е. Бронникова».
