Родился в с. Кондинское Микояновского (ныне Кондинского) района. В 1930 году семья Каюковых переезжает в д. Яганокурт. В 1933 году их семью раскулачили, забрав все имущество, дом, скот. Отца отправили на принудительные работы на строительство Беломоро-Балтийского канала. Мать вместе с детьми переезжает в д. Сускурт и вступает в колхоз им. Калинина.

В 1948 году, после окончания 7 классов, Леонид Матвеевич поступает на заготовительный отдел в Ханты-Мансийскую торгово-кооперативную школу, закончив которую, устраивается на работу в Октябрьский рыбкооп в качестве заготовителя. В 1949 году его забирают в трудармию. Леонид Матвеевич отработал на ремонтно-восстановительном участке Ленинской шахты в Кемеровской области 3 года, а затем, вернувшись домой, устроился в Октябрьскую райзаготконтору.

Свою трудовую деятельность в лесной промышленности Л.М. Каюков начал с 1956 года, проработав в Поснокортском, Лорбинском сплавучастках, а затем в Сергинской лесоперевалочной базе. Общий трудовой стаж Леонида Матвеевича в предприятиях лесной промышленности составил более 28 лет.

За добросовестный труд Леонид Матвеевич много раз награждался почетными грамотами Нижне-Обской сплавконторы, объединения Сергинолес, комбината Тюменьлеспром.

Л.М. Каюков удостоен правительственных наград: ордена Трудового Красного Знамени; медали «За добросовестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина»; трех медалей «Победитель социалистического соревнования»; знака «Ударник девятой пятилетки»; медали «Ветеран труда»; медали Советского фонда мира.

В Октябрьском районном архиве хранятся документы Л.М. Каюкова, среди которых фотографии, почетные грамоты, список правительственных наград, сборники стихов.