Родился 6 августа 1923 года в селе Ильинка Казанского района Тюменской области в семье крестьянина. С 1930 года проживал в п. Кедровый ныне Ханты-Мансийского района. Окончил семилетнюю школу и ФЗУ, работал помощником машиниста на пароходе.

В 1943 году А.Ф. Унжаков был призван Тобольским райвоенкоматом в Красную Армию. Прошел школу артиллерийской подготовки и был направлен на Брянский фронт.

В годы Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. - командир орудия 1620-го легкого артиллерийского полка 20-й артиллерийской дивизии 51-й армии 1-го Прибалтийского фронта, старший сержант.

20 августа 1944 года совершил свой геройский поступок. Недалеко от латвийской деревни Богачи в августе 1944 года старший сержант Алексей Унжаков из своего орудия подбил шесть танков и одну бронемашину. В общей сложности уничтожил полсотни гитлеровцев. Причем враги превосходили русских солдат кратно. Сам А.Ф. Унжаков был ранен, но остался жив.

Через год Алексею Унжакову вручили золотую звезду Героя.

В г. Ханты-Мансийске, в парке Победы, на аллее Славы, установлен бронзовый бюст Героя.

Е. Коваленко. Будущего героя СССР изначально не хотели пускать на фронт // Югра. - 2013.- 6 августа.