Родился в с. Карасье Юргамышского района Курганской области. В 1930 году семья Показаньевых была раскулачена и выслана в Сургутский район. В 1941 году Флегонт Яковлевич окончил Сургутскую среднюю школу и поступил на историко-филологический факультет Омского педагогического института в городе Тобольске. 3 марта 1942 года Ярковским райвоенкоматом Тюменской области был призван в Красную Армию. На войне был сапером, разведчиком, минометчиком. Участвовал в освобождении Донбасса, Северной Таврии, Крыма, Литвы. В августе 1944 года был направлен на учебу в Челябинское танковое училище. С 1945 по 1957 год служил в Забайкальском военном округе.

В 1957 году вернулся в Сургут. Работал преподавателем физической культуры и военного дела в сургутской средней школе № 1 вместе со своим учителем А.С. Знаменским. В 1960 году назначается заведующим районного отдела культуры. Более 30 лет Ф.Я. Показаньев посвятил изучению края и его истории.

Среди наград многочисленные почетные грамоты и памятные медали, звания «Заслуженный работник культуры РСФСР» (1967), «Почетный гражданин Сургута» (1988).

Документы Ф.Я. Показаньева были переданы на хранение в Сургутский городской архив вдовой Показаньевой Лилией Николаевной в 1997 году. Состав документов обширен по своей тематике и включает биографические документы; документы творческой и общественной деятельности; документы, собранные Ф.Я. Показаньевым в связи с его деятельностью по истории и краеведению; переписка с родственниками политических ссыльных и декабристов, с участниками Великой Отечественной войны; рукописи очерков, рассказов.